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Non Standard Analysis

Breve introduzion storica su Analisi Non Standard e Iperreali

In Western mathematical tradition, the driving notions of differential and infinitesimal calculus date back at least as far back as the ancient Greeks. Archimedes deemed them necessary for finding the formulae of areas and volumes of curved objects, particularly the circle. His use of the method of exhaustion, first introduced by Eudoxus a century earlier, allowed him to give a reductio ad absurdum proof that the area of a circle must be equal to half the product of its radius and its circumference. The process is strongly reminiscent of integration. By similar reasoning, using arguments of motion and thinking of geometrical figures as infinitely many nothings together, he was able to accurately derive many other formulae. He is careful to note that his method does not give proof, but only seems to suggest the truthfulness of his conclusions. We commonly attribute to Eudoxus and Archimedes a fundamental principle I have quoted before to you: for every real number, a larger real number exists.

In the seventeenth century came Newton and Leibniz, the two founders of infinitesimal calculus. Although their results were the same, their motivations and interpretations were quite different. This is a very natural occurrence in mathematics: the same ideas are treated in a different manner because they are used for different purposes. Leibniz developed his calculus based on differential quantities, their ratios (derivatives), and their infinite sums (integrals). Newton, who required new mathematical tools to advance his physical ideas, instead used notions of speed and motion, very apparent by his terminology of "fluents" for functions and "fluxions" for derivatives. Using such ideas, sometimes in an unwieldy manner, sometimes masterfully, both demonstrated an excellent intuition of the infinitesimals and obtained consistent rules, lemmas, and theorems, by thinking of notions such as dy/dx in the context of "a change in y less than any assignable quantity divided by a change in x less than any other assignable quantity."

http://mathforum.org/dr.math/faq/analysis_hyperreals.html

Analisi non standard su Wikipedia

"Il calcolo infinitesimale creato da Gottfried Leibniz|Leibniz nel XVII secolo si fondava in modo essenziale sul concetto di infinitesimo. Per Leibniz gli infinitesimi sono numeri minori in valore assoluto di ogni numero reale, eppure diversi da zero; un nuovo tipo di numeri per i quali Leibniz supponeva continuassero a valere le ordinarie regole dell'Algebra.

Grazie al concetto di infinitesimo diventa facile introdurre i concetti di derivata e di integrale e dedurre le regole di derivazione e di integrazione: così nasceva il calcolo infinitesimale.

Nel XIX secolo Augustin Cauchy e Karl Weierstrass rifondarono il calcolo infinitesimale abolendo gli infinitesimi e fondandosi invece sul concetto di Limite; in questo modo le contraddizioni logiche insite nel concetto di infinitesimo (evidenziate da George Berkeley) furono superate, ma al prezzo di una notevole complicazione delle definizioni e dimostrazioni. Aboliti gli infinitesimi, il calcolo infinitesimale si trasformava nella moderna analisi matematica.

Nel XX secolo Abraham Robinson, un logico matematico tedesco emigrato negli USA, nel corso dei suoi studi di logica scoprì che tutti gli insiemi numerici potevano essere estesi con numeri "non standard" che ne ereditavano le proprietà; per l'insieme dei numeri reali questi altro non erano che gli infinitesimi di Leibniz, definiti questa volta in modo assolutamente rigoroso; diventava così possibile rifondare nuovamente l'Analisi sul concetto di infinitesimo, cosa che Robinson fece nel suo libro ''Non standard Analysis'' (1966). E 'Analisi non standard' è il nome dato a questa nuova formulazione dell'Analisi. Definizioni e dimostrazioni ritrovano la semplicità e linearità presente nel calcolo di Leibniz."

Elementi di Analisi Non Standard

L'analisi non standard nasce nei primi anni '60 ad opera soprattutto del matematico Abraham Robinson, nella cui opera (Non Standard Analysis – 1966) si recupera il concetto originario d’infinitesimo dovuto a Leibniz e Newton.

La nuova precisazione del concetto d’infinitesimo supera le difficoltà che, nella seconda metà dell’Ottocento, portarono al suo abbandono. Allora, per preservare tutti i risultati del calcolo infinitesimale già ottenuti, si elaborarono macchinosi concetti sostitutivi, cominciando dalla classica nozione di limite. La proposta di Robinson, con i relativi sviluppi degli anni successivi, permette una presentazione semplificata dei risultati conseguiti dall’analisi matematica e introduce un nuovo e più potente strumento per modellizzare i problemi che provengono dalle applicazioni.

Le ricadute didattiche più rilevanti sono il superamento della definizione classica di limite e degli artificiosi procedimenti dimostrativi a essa legati e un maggiore ricorso ai processi intuitivi, ma non meno rigorosi, nel calcolo degli infiniti e degli infinitesimi, recuperando, in modo più diretto, tutti i tradizionali contenuti del calcolo differenziale e integrale.

 

Chi si accinge oggi a studiare Analisi Matematica nelle Scuole Superiori o all'Università fa fatica a comprendere perchè la si chiami Analisi o Calcolo infinitesimale. Non sa che gli infinitesimi erano alla base del "Calcolo Sublime" che serviva a derivare e integrare in maniera semplice usando rapporti e somme di termini infinitesimi.

Un infinitesimo è un 'numero' che è più piccolo di ogni numero reale positivo ed è maggiore di ogni numero reale negativo, in modo che nel sistema dei numeri reali c’è solo un infinitesimo, ossia zero. Ma di solito interessano gli infinitesimi diversi da zero. Ciò è legato al fatto che quando nella definizione usuale di limite x tende a c, il più delle volte interessano solo i valori di x che sono diversi da c. Da qui ne viene che il sistema dei numeri reali deve essere esteso in un modo o in un altro, al fine di includere tutti gli infinitesimi e anche i loro inversi, ovvero gli infiniti.

Questo sito comprende vari tentativi di introdurre nella didattica gli infinitesimi e gli altri numeri 'non standard' suggeriti a volte in maniera ingenua. Tuttavia, le pratiche risultanti raccolte da G.A.L.O.I.S. si spera che possano essere sufficientemente evocative e risultare entro certi limiti utili al confronto.

 

La riformulazione dell’analisi matematica proposta negli anni Sessanta dal matematico di origine polacca Abraham Robinson, con lo scopo di permettere un uso rigoroso dei più intuitivi “infinitesimi” proposti da Gottfried Wilhelm Leibniz, ha portato alla NSA (Non Standard Analysis). Robinson definisce gli infinitesimi come numeri positivi “più piccoli di qualsiasi numero razionale dato” ed estende in questo modo i tradizionali numeri reali agli “iperreali”, definiti come la somma di un reale e di un infinitesimo.

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